Question

已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出其增減性；
(2)若關于x的方程至少有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

(1)遞增區(qū)間為[1,2)，[3，＋∞)，遞減區(qū)間為(－∞，1)，[2,3)．
(2) a∈[－1，－]

本試題主要是考查了函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)與方程的綜合運用。
（1）根據(jù)已知函數(shù)去掉絕對值符號，結合二次函數(shù)來分析單調(diào)性。
（2）作函數(shù)y=|x²-4x+3|的圖象， 由圖象知直線y=1與y=|x²-4x+3|的圖象至少有三個不相等的實數(shù)根，即方程|x²-4x+3|=1也就是方程|x²-4x+3|-1=0至少有三個不相等的實數(shù)根，因此得到a的范圍。．
f(x)＝
(1)遞增區(qū)間為[1,2)，[3，＋∞)，
遞減區(qū)間為(－∞，1)，[2,3)．
(2)原方程變形為|x²－4x＋3|＝x＋a，在同一坐標系下再作出y＝x＋a的圖象(如上圖)
則當直線y＝x＋a過點(1,0)時，a＝－1；
當直線y＝x＋a與拋物線y＝－x²＋4x－3相切時，
由得x²－3x＋a＋3＝0.
由Δ＝9－4(3＋a)＝0. 得a＝－.
由圖象知當a∈[－1，－]時，方程至少有三個不等實根．