Question

（本小題滿分16分）
已知函數（是自然對數的底數）.
（1）若曲線在處的切線也是拋物線的切線，求的值；
（2）若對于任意恒成立，試確定實數的取值范圍；
（3）當時，是否存在，使曲線在點處的切線斜率與 在上的最小值相等？若存在，求符合條件的的個數；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（1），所以在處的切線為
即：                         ………………………………2分
與聯立，消去得，
由知，或.       ………………………………4分
（2）
①當時，在上單調遞增，且當時，，
，故不恒成立，所以不合題意 ；………………6分
②當時，對恒成立，所以符合題意；
③當時令，得， 當時，，
當時，，故在上是單調遞減，在上是單調遞增, 所以又，，
綜上：.                ………………………………10分
(3)當時，由（2）知，
設，則，
假設存在實數，使曲線在點處的切線斜率與在上的最小值相等，即為方程的解，………………………………13分
令得：，因為， 所以.
令，則 ，
當是，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，,故方程 有唯一解為1，
所以存在符合條件的，且僅有一個. …………………………16分

略