Question

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形為菱形， ， 底面， 為直線上一動點．

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）若， 分別為線段， 的中點，求證： 平面；

（Ⅲ）直線上是否存在點，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ)答案見解析.

【解析】試題分析：

(Ⅰ) 連，由菱形可得．又由平面，可得，從而可得平面，可證得． (Ⅱ) 取的中點，連， ，由題意可得， ，故四邊形為平行四邊形，所以，由線面平行的判定定理可得平面． (Ⅲ)先假設存在滿足條件的點．再進行推理，即過作的延長線于，連．可證得中， ， ，所以，從而．

試題解析：

（Ⅰ）證明：連結，

因為四邊形為菱形，

所以．

因為平面， 平面，

所以．

又，

所以平面．

又平面,

所以．

（Ⅱ）證明：取的中點，連， ．

因為為線段中點，

所以， ．

因為四邊形為菱形， 為線段的中點，

所以， ．

所以， ．

故四邊形為平行四邊形，

所以．

又因為平面， 平面，

所以平面．

（Ⅲ）解：直線上存在點，使得平面平面，且．理由如下：

如圖，過作的延長線于，連．

因為菱形中，

所以．

因為底面， 平面，

所以．

又，

所以平面．

又因為平面，

故平面平面．

因為在中， ， ，

所以．

故直線上存在點，使得平面平面，且．