Question

（理科做） 如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，∠DBC=90°，BC=BD=2，AB=1，則BC和平面ACD所成角的
正弦值為

 

．

Answer 1

分析：以B為原點，以BC為x軸，以BD為y軸，以BA為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線BC和平面ACD所成角的正弦值．

解答：解：在三棱錐A-BCD中，
∵AB⊥平面BCD，∠DBC=90°，
∴以B為原點，以BC為x軸，以BD為y軸，以BA為z軸，
建立空間直角坐標系，
∵BC=BD=2，AB=1，
∴B（0，0，0），A（0，0，1），C（2，0，0），D（0，2，0），
∴

CB

=（-2，0，0），

CA

=（-2，0，1），

CD

=（-2，2，0），
設平面ACD的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n

•

CA

=0，

n

•

CD

=0，
∴

-2x+z=0 -2x+2y=0

，∴

n

=（1，1，2），
設直線BC和平面ACD所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

CB

，

n

＞|=|

-2

2• 6

|=

6

6

．
故答案為：

6

6

．

點評：本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要注意等價轉化思想和向量法的合理運用．