Question

（理科做）如圖，點P為橢圓

x2

9

+

y2

5

=1上的動點，A為橢圓左頂點，F為右焦點．
（1）若∠AFP=60°，求PF所在直線被橢圓所截得的弦長|PQ|；
（2）若點M在線段PF上，且滿足

FM

+

1

2

PM

=

0

，求點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：由題意可得，A（-3，0），F（2，0）
（1）由∠AFP=60°可知直線PF的傾斜角為60°或120°即直線PF的斜率，求出直線PF的方程，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯立直線與橢圓，根據方程的根與系數關系可求x₁+x₂，x₁x₂，代入公式|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

4(x1-x2)2

=2

(x1+x2)2-4x1x2

（2）設M（x，y），P（m，n），由

FM

+

1

2

PM

=

0

，可得M，N的坐標關系，結合

m2

9

+

n2

5

=1，可求點M的軌跡方程

解答：解：由題意可得，c²=9-5=4即c=2
∴A（-3，0），F（2，0）
（1）由∠AFP=60°可知直線PF的傾斜角為60°或120°即直線PF的斜率為

3

或-

3

以k=

3

為例，則直線PF的方程為y=

3

(x-2)，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
聯立方程

y= 3 (x-2) x2 9 + y2 5 =1

可得32x²+108x+63=0
∴x1+x2=-

27

8

，x1x2=

63

32

∴|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

4(x1-x2)2

=2

(x1+x2)2-4x1x2

=2

729 64 -4× 63 32

=

15

4

根據對稱性可知，k=-

3

時|PQ|=

15

4

（2）設M（x，y），P（m，n），則

m2

9

+

n2

5

=1，
∴

FM

=(x-2，y)，

PM

=(x-m，y-n)
∵

FM

+

1

2

PM

=

0

∴(x-2，y)+(

x-m

2

，

y-n

2

)=0
∴

3x-4= m 3y= n

代入到方程

m2

9

+

n2

5

=1，可得

(3x-4)2

9

+

9y2

5

=1
∴點M的軌跡方程

(3x-4)2

9

+

9y2

5

=1

點評：本題主要考查了橢圓的性質的應用，直線與橢圓相交關系的應用，弦長公式的應用及利用相關點法求解點的軌跡方程，屬于綜合性試題