Question

對任意正整數n，定義n的雙階乘n!如下：當n為偶數時，n!=n（n-2）（n-4）…6×4×2；當n為奇數時，n（n-2）（n-4）…5×3×1；
現有四個命題：①（2009!!）（2008!!）=2009!，②2008!!=2×1004!，③2008!!個位數為0，④2009!!個位數為5．其中正確的序號為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據題意，根據題意中雙階乘的定義，依次分析4個命題：對于①，展開（2009!!）（2008!!）可得（2009!!）（2008!!）=[（2009）（2007）（2005）…（1）]×[（2008）×（2006）×…（2）]=（2009）（2008）（2007）…（1）；易得其正確，對于②2008!!=[（2008）×（2006）×…（2）]=2¹⁰⁰⁴（1004）（1003）…（1）=2¹⁰⁰⁴×1004!，可得②錯誤；對于③2008!!=[（2008）×（2006）×…（2）]，其中含有10，故其個位數字為0，可得③正確；④2009!!=（2009）（2007）（2005）…（1），其中連續5項乘積的個位數字為5，則2009!!個位數為5；可得④正確；進而可得答案．

解答：解：根據題意中雙階乘的定義，依次分析4個命題：
對于①（2009!!）（2008!!）=[（2009）（2007）（2005）…（1）]×[（2008）×（2006）×…（2）]=（2009）（2008）（2007）…（1）=2009!，故①正確；
對于②2008!!=[（2008）×（2006）×…（2）]=2¹⁰⁰⁴（1004）（1003）…（1）=2¹⁰⁰⁴×1004!，故②錯誤；
對于③2008!!=[（2008）×（2006）×…（2）]，其中含有10，故其個位數字為0，故③正確；
對于④2009!!=（2009）（2007）（2005）…（1），其中連續5項乘積的個位數字為5，則2009!!個位數為5；故④正確；
有3個命題正確；
故選C．

點評：本題利用新定義考查階乘的定義，新定義題是近幾年常考的題型，注意認真審題，明確新定義的含義即可．