Question

【題目】在平面直角坐標系中，設△ABC的頂點分別為,圓M是△ABC的外接圓，直線的方程是，

（1）求圓M的方程；

（2）證明：直線與圓M相交；

（3）若直線被圓M截得的弦長為3，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析（3）y=1，或x=1

【解析】

試題分析：（1）求出邊AC、BC的垂直平分線方程，根據圓心M在這2條邊的垂直平分線上，可得再求出半徑MC的值，即可得到圓的標準方程；（2）根據直線l經過定點N，而點N在圓的內部，即可得到直線和圓相交；（3）由條件利用弦長公式求得圓心到直線l的距離為．再根據據點到直線的距離公式求得 m的值，可得直線l的方程

試題解析：（1）∵△ABC的頂點分別為A（0，2），B（﹣1，0），C（2，0），故線段BC的垂直平分線方程為x=，

線段AC的垂直平分線為 y=x，再由圓心M在這2條邊的垂直平分線上，可得M（，），

故圓的半徑為|MC|==，

故圓M的方程為+=．

（2）根據直線l的方程是（2+m）x+（2m﹣1）y﹣3m﹣1=0（m∈R），即m（x+2y﹣3）+2x﹣y﹣1=0，

由可得，故直線經過定點N（1，1）．

由于MN==＜r=，故點N在圓的內部，故圓和直線相交．

（3）∵直線l被圓M截得的弦長為3，故圓心M（，）到直線l的距離為d==．

再根據=，求得 m=﹣2，或m=，

故直線l的方程為y=1，或x=1．