Question

【題目】選修4-5：不等式選講

設函數．

（1）證明：；

（2）若不等式的解集是非空集，求的范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）直接計算，由絕對值不等式的性質及基本不等式證之即可；

（2），分區間討論去絕對值符號分別解不等式即可.

試題解析： （1）證明：函數f（x）=|x﹣a|，a＜0，

則f（x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣﹣a|=|x﹣a|+|+a|≥|（x﹣a）+（+a）|

=|x+|=|x|+≥2=2．

（2）f（x）+f（2x）=|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0．

當x≤a時，f（x）=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x，則f（x）≥﹣a；

當a＜x＜時，f（x）=x﹣a+a﹣2x=﹣x，則﹣＜f（x）＜﹣a；

當x時，f（x）=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a，則f（x）≥﹣．則f（x）的值域為[﹣，+∞）.

不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，即為＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜0，

則a的取值范圍是．