Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點為F₁，F₂，過F₁的直線l與橢圓相交于A，B兩點．
（1）若∠AF₁F₂=60°，且點A在以F₁F₂為直徑的圓上，求橢圓的離心率；
（2）若a=

2

，b=1，求

F2A

•

F2B

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用圓的性質、含60°角的直角三角形的性質、橢圓的定義及其離心率計算公式即可得出；
（2）利用已知即可得出橢圓的標準方程及其焦點，分類討論直線AB的斜率，當斜率存在時與橢圓方程聯立得到根與系數的關系，利用向量運算及相等即可得出．

解答：解：（1）∵點A在以F₁F₂為直徑的圓上，∴AF₁⊥AF₂，
∵∠AF₁F₂=60°，∴|F₁F₂|=2|AF₁|，|AF2|=

3

|AF1|，
∴2a=|AF₁|+|AF₂|，2c=|F₁F₂|，
∴離心率e=

c

a

=

|F1F2|

|AF1|+|AF2|

=

3

-1．
（2）∵a=

2

，b=1，∴c=1，點F₁（-1，0），F₂（1，0）．
∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．
①若AB垂直于x軸，A(-1，

2

2

)，B(-1，-

2

2

)，
∴

F2A

=(-2，

2

2

)，

F2B

=(-2，-

2

2

)，∴

F2A

•

F2B

=4-

1

2

=

7

2

．
②若AB與x軸不垂直，設直線的斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x+1），
由

y=k(x+1) x2+2y2-2=0

，得（1+2k²）x²+4k²x+2（k²-1）=0，
∵△=8k²+8＞0，∴方程有兩個不相等的實數根．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x1+x2=-

4k2

1+2k2

，x1•x2=

2(k2-1)

1+2k2

，

F2A

•

F2B

=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+1)(x2+1)=(1+k2)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+1+k2
=(1+k2)•

2(k2-1)

1+2k2

+(k2-1)•(-

4k2

1+2k2

)+1+k2=

7k2-1

1+2k2

=

7

2

-

9

2(1+2k2)

，
∵k2≥0，1+2k2≥1，0＜

1

1+2k2

≤1，
∴

F2A

•

F2B

∈[-1，

7

2

)．
綜合①，②得，

F2A

•

F2B

∈[-1，

7

2

]，
∴當直線l垂直于x軸時，

F2A

•

F2B

取得最大值

7

2

，當直線l與x軸重合時，

F2A

•

F2B

取得最小值-1．

點評：熟練掌握分類討論思想方法、橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、向量的運算相等等是解題的關鍵．