Question

設 A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的兩點，O為坐標原點，向量

m

=(

x1

a

，

y1

b

)，

n

=(

x2

a

，

y2

b

)且

m

•

n

=0．
（1）若A點坐標為（a，0），求點B的坐標；
（2）設

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

，證明點M在橢圓上；
（3）若點P、Q為橢圓 上的兩點，且

PQ

∥

OB

，試問：線段PQ能否被直線OA平分？若能平分，請加以證明；若不能平分，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將x₁=a，y₁=0代入（

x1

a

，

y1

b

）•（

x2

a

，

y2

b

）=0，得（1，0）•（

x2

a

，

y2

b

）=0，由此能求出點B的坐標．
（2）因（

x1

a

，

y1

b

）•（

x2

a

，

y2

b

）=0，所以

x1x2

a2

+

y1y2

b2

=0，又因A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在橢圓上，所以

x12

a2

+

y12

b2

=1，

x22

a2

+

y22

b2

=1

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

=（x₁cosθ+x₂sinθ，y₁cosθ+y₂sinθ），由此能夠證明所以點M在橢圓上．
（3）設點P（m₁，n₁）Q（m₂，n₂），則

PQ

=(m2-m1，n2-n1)，且

m 2 1

a2

+

n 2 1

b2

=1，

m 2 2

a2

+

n 2 2

b2

=1，所以

(m1-m2)(m1+m2)

a2

+

(n1-n2)(n1+n2)

b2

=0，故

PQ

⊥(

m1+m2

a2

，

n1+n2

b2

)，由此能夠導出線段PQ被直線OA平分．

解答：解：（1）將x₁=a，y₁=0代入（

x1

a

，

y1

b

）•（

x2

a

，

y2

b

）=0，得（1，0）•（

x2

a

，

y2

b

）=0，
所以x₂=0，y₂=±b，即點B的坐標為（0，±b）．
（2）因（

x1

a

，

y1

b

）•（

x2

a

，

y2

b

）=0，所以

x1x2

a2

+

y1y2

b2

=0，
又因A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在橢圓上，所以

x12

a2

+

y12

b2

=1，

x22

a2

+

y22

b2

=1

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

=（x₁cosθ+x₂sinθ，y₁cosθ+y₂sinθ）
把M點坐標代入橢圓方程左邊得：

(x1cosθ+x2sinθ)2

a2

+

(y1cosθ+sinθ)2

b2

=

x12cos2θ+x22sin2θ

a2

+

y12cos2θ+y22sin2θ

b2

+2sinθcosθ(

x1x2

a2

+

y2y2

b2

)=cos²θ+sin²θ+2sinθcosθ×0=1所以點M在橢圓上．
（3）設點P（m₁，n₁）Q（m₂，n₂），則

PQ

=(m2-m1，n2-n1)
且

m 2 1

a2

+

n 2 1

b2

=1，

m 2 2

a2

+

n 2 2

b2

=1
所以

(m1-m2)(m1+m2)

a2

+

(n1-n2)(n1+n2)

b2

=0，
故有(m1-m2，n1-n2)•(

m1+m2

a2

，

n1+n2

b2

)=0
即

PQ

⊥(

m1+m2

a2

，

n1+n2

b2

)
又

PQ

∥

OB

，而

OB

=(x2，y2)，得(x2，y2)•(

m1+m2

a2

，

n1+n2

b2

)=0（A）
又由

x1x2

a2

+

y1y2

b2

=0，得(x2，y2)•(

x1

a2

，

y1

b2

)=0，（B）
所以由（A）（B）得(

m1+m2

a2

，

n1+n2

b2

)=λ(

x1

a2

，

y1

b2

)，
即(

m1+m2

2

，

n1+n2

2

)=

λ

2

(x1，y1)
故線段PQ被直線OA平分．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．