Question

設函數f(x)的定義域為R，若|f(x)|≤|x|對任意的實數x均成立，則稱函數f(x)為Ω函數．

(Ⅰ)求證：若函數f(x)為Ω函數，則f(0)=0；

(Ⅱ)試判斷函數f₁(x)=xsinx、f₂(x)=和f₃(x)=中哪些是Ω函數，并說明理由；

(Ⅲ)若f(x)是奇函數且是定義在R上的可導函數，函數f(x)的導數f′(x)滿足|f′(x)|＜1，試判斷函數f(x)是否為Ω函數，并說明理由．

Answer 1

答案：解：(Ⅰ)∵函數f(x)的定義域為R，且|f(x)|≤|x|，

∴|f(0)|≤0，又|f(0)|≥0，∴f(0)=0． 

(Ⅱ)∵|x||sinx|≤|x|，

∴f₁(x)=xsinx是Ω函數；

∵f₂(0)=＞0

∴f₂(x)=不是Ω函數；

∵=|x|，

∴f₃(x)=是Ω函數．

(Ⅲ)∵函數f(x)是定義在R上的奇函數，

∴f(0)=0

∵|f′(x)|＜1，∴-1＜f′(x)＜1．

當x≥0時，

設函數F(x)=f(x)-x，和G(x)=f(x)+x．

∴F′(x)=f′(x)-1＜0，G′(x)=f′(x)+1＞0．

∴F(x)=f(x)-x在[0，+∞)上是減函數，

G(x)=f(x)+x在[0，+∞)上是增函數．

∴F(x)=f(x)-x≤F(0)=0，

G(x)=f(x)+x≥G(0)=0．

∴-x≤f(x)≤x．

∴當x≥0時，|f(x)|≤|x|成立．

當x＜0時，-x＞0，∴|f(-x)|＜|-x|，

∵f(x)為奇函數，∴|-f(x)|＜|-x|，

即|f(x)|＜|x|成立．

∴當x∈R時，|f(x)|≤|x|對任意的實數x均成立．故函數f(x)是Ω函數．