Question

已知O是銳角△ABC的外接圓圓心，

.

AB

.

=16，

.

AC

.

=10

2

，若

AO

=x

AB

+y

AC

，且32x+25y=25，則

.

AO

.

=

 

．

Answer 1

分析：已知 

AO

=x

AB

+y

AC

，則

AO

2=x

AB

•

AO

+y

AC

•

AO

，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義分別求出

AB

•

AO

，

AC

•

AO

后，得出關(guān)于x，y的代數(shù)式，利用32x+25y=25整體求解．

解答：解：如圖．若

AO

=x

AB

+y

AC

，則

AO

2=x

AB

•

AO

+y

AC

•

AO

，
O為外心，D，E為中點(diǎn)，OD，OE分別為兩中垂線．

AB

•

AO

=|

AB

|（|

AO

|cos∠DAO）=|

AB

|×AD=|

AB

|×

1

2

×|

AB

|=16×8=128．
同樣地，

AC

•

AO

=

1

2

|

AC

|²=100．
所以

AO

²=128x+100y=4（32x+25y）=100．
∴|

AO

|=10．
故答案為：10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形外心的性質(zhì)，向量數(shù)量積的運(yùn)算、向量模的求解．本題中進(jìn)行了合理的轉(zhuǎn)化

AO

=x

AB

+y

AC

，并根據(jù)外心的性質(zhì)化簡(jiǎn)求解．