Question

在一次抗洪搶險中，準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從河上游漂流而下的一只巨大汽油罐．已知只有5發(fā)子彈備用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功．每次射擊命中的概率都是

2

3

，每次命中與否互相獨(dú)立．
（Ⅰ）求恰好射擊5次引爆油罐的概率；
（Ⅱ）如果引爆或子彈打光則停止射擊，設(shè)射擊次數(shù)為ξ，求ξ的分布列及ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知每次命中與否互相獨(dú)立．且每次射擊命中的概率都是

2

3

，本試驗(yàn)是一個獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，恰好射擊5次引爆油罐表示前四次有一次射中且第五次一定擊中，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得到結(jié)果．
（2）射擊次數(shù)ξ的可能取值為2，3，4，5．當(dāng)ξ=2時，表示兩槍都擊中，當(dāng)ξ=3時，表示前兩槍中有一槍擊中且第三槍一定擊中，當(dāng)ξ=4時，表示前三槍中有一槍擊中且第四槍一定擊中，當(dāng)ξ=5時，表示前四槍中有一槍擊中且第五槍一定擊中，寫出分布列．

解答：解：（Ⅰ）∵每次命中與否互相獨(dú)立．且每次射擊命中的概率都是

2

3

，
∴是一個獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，
記“恰好射擊5次引爆油罐”的事件為事件A，
表示前四次有一次射中且第五次一定擊中，
∴P(A)=

C

1 4

×

2

3

×(

1

3

)3×

2

3

=

16

243

．
（Ⅱ）射擊次數(shù)ξ的可能取值為2，3，4，5．
當(dāng)ξ=2時，表示兩槍都擊中，
當(dāng)ξ=3時，表示前兩槍中有一槍擊中且第三槍一定擊中，
當(dāng)ξ=4時，表示前三槍中有一槍擊中且第四槍一定擊中，
當(dāng)ξ=5時，應(yīng)該表示前四槍中有一槍擊中且第五槍一定擊中或前四槍中有一槍中且第五槍不中或前四槍不中且第五槍中或五槍都不中四種情況
∴P(ξ=2)=(

2

3

)2=

4

9

；
P(ξ=3)=

C

1 2

×

2

3

×

1

3

×

2

3

=

8

27

；
P(ξ=4)=

C

1 3

×

2

3

×(

1

3

)2×

2

3

=

4

27

；
P(ξ=5)=1-

4

9

-

8

27

-

4

27

=

1

9

．
∴ξ的分布列為
Eξ=2×

4

9

+3×

8

27

+4×

4

27

+5×

1

9

=

79

27

．
∴所求ξ的數(shù)學(xué)期望為

79

27

．

點(diǎn)評：考查運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題的能力，注意滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件，解題過程中判斷概率的類型是難點(diǎn)也是重點(diǎn)，這種題目高考必考，應(yīng)注意解題的格式．