Question

在一次抗洪搶險中準備用射擊的方法引爆從上游漂流而下的一個巨大汽油罐．已知只有5發子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射擊是相互獨立的，且命中的概率都是

2

3

．
（1）求油罐被引爆的概率；
（2）如果引爆或子彈打光停止射擊，請通過計算證明：停止射擊的概率必然為1．

Answer 1

分析：（1）記油罐被引爆為事件A，其對立事件

.

A

為5發子彈用完，油罐沒有被引爆，分析可得

.

A

包含2種情況，①、5發子彈中有1發命中，②、5發子彈都沒有命中，計算可得①②的概率，由互斥事件概率的加法公式可得P（

.

A

），進而由對立事件的概率性質可得答案，
（2）根據題意，停止射擊時，射擊次數ξ的可能取值為2，3，4，5；分別求出ξ=2、ξ=3、ξ=4、ξ=5的概率，將其相加即可得停止射擊的概率，即可得證明．

解答：解：（1）記油罐被引爆為事件A，其對立事件

.

A

為5發子彈用完，油罐沒有被引爆，

.

A

包含2種情況，①、5發子彈中有1發命中，其概率為p₁=

C

1 5

 ×

2

3

×(1-

2

3

)4=

10

243

，
②、5發子彈都沒有命中，其概率為p₂=(1-

2

3

)5=

1

243

，
P（

.

A

）=P₁+P₂=

11

243

，
油罐被引爆的概率P（A）=1-P（

.

A

）=

232

243

，
（2）根據題意，停止射擊時，射擊次數ξ的可能取值為2，3，4，5；
當ξ=2時，表示兩槍都擊中，P(ξ=2)=(

2

3

)2=

4

9

；
當ξ=3時，表示前兩槍中有一槍擊中且第三槍一定擊中，P(ξ=3)=

C

1 2

×

2

3

×

1

3

×

2

3

=

8

27

；
當ξ=4時，表示前三槍中有一槍擊中且第四槍一定擊中，P(ξ=4)=

C

1 3

×

2

3

×(

1

3

)2×

2

3

=

4

27

；
當ξ=5時，有3種情況①前四槍中有一槍擊中且第五槍一定擊中，②子彈打光，5發子彈都沒有命中，③子彈打光5發子彈中有1發命中，
P（ξ=5）=C₄¹×

2

3

×（

1

3

）³×

2

3

+C₅¹×

2

3

×（

1

3

）⁴+（

1

3

）⁵=

1

9

；
計算有P（ξ=2）+P（ξ=3）+P（ξ=4）+P（ξ=5）=1成立，
即停止射擊的概率必然為1．

點評：本題考查概率的應用，涉及n次獨立重復試驗中恰有k次發生的概率計算，解題的關鍵是注意分類的標準要統一，避免重復討論或遺漏情況．