Question

【題目】設函數f（x）=lnx﹣ax+ ﹣1． （Ⅰ）當a=1時，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）當a= 時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設函數g（x）=x2﹣2bx﹣ ，若對于x1∈[1，2]，x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：函數f（x）的定義域為（0，+∞）， （Ⅰ）當a=1時，f（x）=lnx﹣x﹣1，∴f（1）=﹣2， ，
∴f′（1）=0，∴f（x）在x=1處的切線方程為y=﹣2
（Ⅱ） =
令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，或x＞2；令f'（x）＞0，可得1＜x＜2
故當 時，函數f（x）的單調遞增區間為（1，2）；單調遞減區間為（0，1），（2，+∞）．
（Ⅲ）當 時，由（Ⅱ）可知函數f（x）在（1，2）上為增函數，
∴函數f（x）在[1，2]上的最小值為f（1）=-
若對于x1∈[1，2]，x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，等價于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值- （*）
又 ，x∈[0，1]
② 當b＜0時，g（x）在[0，1]上為增函數， 與（*）矛盾
②當0≤b≤1時， ，由 及0≤b≤1得，
③當b＞1時，g（x）在[0，1]上為減函數， ，
此時b＞1
綜上，b的取值范圍是
【解析】確定函數f（x）的定義域，并求導函數（Ⅰ）當a=1時，f（x）=lnx﹣x﹣1，求出f（1）=﹣2，f′（1）=0，即可得到f（x）在x=1處的切線方程；（Ⅱ）求導函數，令f'（x）＜0，可得函數f（x）的單調遞減區間；令f'（x）＞0，可得函數f（x）的單調遞增區間；（Ⅲ）當 時，求得函數f（x）在[1，2]上的最小值為f（1）= ；對于x1∈[1，2]，x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，等價于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值，求出 ，x∈[0，1]的最小值，即可求得b的取值范圍．