Question

若關于的方程的三個根可分別作為一個橢圓、雙曲線、拋物線的離心率，則的取值范圍為         ． 

Answer 1

試題分析：令f（x）=x³+ax²+bx+c
∵拋物線的離心率為1，∴1是方程f（x）=x³+ax²+bx+c=0的一個實根
∴a+b+c=-1
∴c=-1-a-b代入f（x）=x³+ax²+bx+c，
可得f（x）=x³+ax²+bx-1-a-b=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）=（x-1）[x²+（a+1）x+1+a+b]
設g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b，則g（x）=0的兩根滿足0＜x₁＜1，x₂＞1
∴g（0）=1+a+b＞0，g（1）=3+2a+b＜0
作出可行域，如圖所示

的幾何意義是區域內的點與原點連線的斜率，
∴-2≤＜-故答案為：-2≤＜-
點評：解題的關鍵是根據條件來寫出不等式組，然后結合規劃知識來得到。涉及到了函數的根的分布，多項式恒等等知識．屬中檔題。