Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距是2，離心率是0.5；
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：過點A（1，2）傾斜角為45°的直線l與橢圓C有兩個不同的交點；又記這兩個交點為P、Q，試求出線段PQ的中點M的坐標．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）直接根據焦距是2，離心率是0.5；求出c=1，a=2，再根據a，b，c之間的關系求出b；即可求橢圓的方程；
（2）把直線方程和橢圓方程聯立，轉化為關于x的一元二次方程，只要對應的判別式大于0即可說明結論．

解答： （1）解：由題意2c=2，∴c=1，…（2分）
由離心率是0.5，得a=2，∴b=

3

．…（4分）
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．    …（6分）
（2）證明：直線l：y-2=tan45°（x-1），即y=x+1．…（8分）
代入

x2

4

+

y2

3

=1，整理得：7x²+8x-8=0．…（10分）
∵△=8²-4×7×（-8）=288＞0…（11分）
∴過點A（1，2）傾斜角為45°的直線l與橢圓有兩個不同的交點．   
線段PQ的中點M的橫坐標為-

4

7

，縱坐標為

3

7

，即M（-

4

7

，

3

7

）．…（14分）

點評：本題綜合考查橢圓的性質及應用和直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題目，解題時要注意性質的靈活運用．