Question

（2013•房山區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=

1

2

ax2-(a+1)x+lnx，g(x)=x2-2bx+

7

8

．
（Ⅰ）當a=0時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當a＜1時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）當a=

1

4

時，函數(shù)f（x）在（0，2]上的最大值為M，若存在x∈[1，2]，使得g（x）≥M成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=0時求出f（x），f′（x），f（1），切線斜率k=f′（1），利用點斜式即可求得切線方程；
（Ⅱ）求出導數(shù)f′（x），分情況討論：①a=0時，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即得f（x）的單調區(qū)間；②a≠0時，解方程f′（x）=0得x=1或x=

1

a

，按照1與

1

a

的大小討論，根據(jù)f′（x）的符號即可求得其單調區(qū)間；
（Ⅲ）當a=

1

4

時，借助（Ⅱ）問單調性易求得M，存在x∈[1，2]，使g(x)≥-

9

8

，等價于g(x)max≥-

9

8

，由二次函數(shù)的性質可得不等式組，解出即可；

解答：解：（Ⅰ）當a=0時，f（x）=-x+lnx，
f（1）=-1+ln1=-1，f′(x)=-1+

1

x

，f'（1）=0．
所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程y=-1．
（Ⅱ）f′(x)=ax-(a+1)+

1

x

=

ax2-(a+1)x+1

x

=

(ax-1)(x-1)

x

(x＞0)，
①當a=0時，解f′(x)=-

x-1

x

＞0，得0＜x＜1，解f′(x)=-

x-1

x

＜0，得x＞1，
所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（0，1），遞減區(qū)間為在（1，+∞）；
②a≠0時，令f'（x）=0得x=1或x=

1

a

，
i）當0＜a＜1時，

1

a

＞1，當x變化時f（x）、f′（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，1））	1	(1， 1 a )	1 a	( 1 a ，+∞)
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增		減		增

函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（0，1），(

1

a

，+∞)，遞減區(qū)間為(1，

1

a

)；
ii）當a＜0時，

1

a

＜0，
在（0，1）上f'（x）＞0，在（1，+∞）上f'（x）＜0，
所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（0，1），遞減區(qū)間為（1，+∞）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當a=

1

4

時，f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，2）上是減函數(shù)，
所以M=f(1)=-

9

8

，
存在x∈[1，2]，使g(x)≥-

9

8

，即存在x∈[1，2]，使x2-2bx+

7

8

≥-

9

8

，
只需函數(shù)g（x）在[1，2]上的最大值大于等于-

9

8

，
所以有

g(1)≥- 9 8 g(2)≥- 9 8

，即

1-2b+ 7 8 ≥- 9 8 4-4b+ 7 8 ≥- 9 8

，解得：b≤

3

2

，
所以b的取值范圍是(-∞，

3

2

]．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、某點處切線方程、在閉區(qū)間上的最值等知識，考查分類討論思想，考查學生分析解決問題的能力，把存在性問題轉化為最值問題是解決（Ⅲ）問的關鍵．