Question

（2013•房山區一模）設集合M是R的子集，如果點x₀∈R滿足：?a＞0，?x∈M，0＜|x-x₀|＜a，稱x₀為集合M的聚點．則下列集合中以1為聚點的有（　　）
①{

n

n+1

|n∈N}；    
②{

2

n

|n∈N*}；    
③Z；    
④{y|y=2^x}．

A．①④

B．②③

C．①②

D．①②④

Answer 1

分析：由已知中關于集合聚點的定義，我們逐一分析四個集合中元素的性質，并判斷是否滿足集合聚點的定義，進而得到答案．

解答：解：①{

n

n+1

|n∈N}中的元素構成以1為極限的數列，故對?a＞0，?x∈{

n

n+1

|n∈N}，
使0＜|x-1|＜a成立，故此集合以1為聚點．
②集合{

2

n

|n∈N*}，其中的元素構成以0為極限的數列，故對?a＞0，不存在x∈{

2

n

|n∈N*}，
使0＜|x-1|＜a成立，故1不是此集合的聚點．
③集合{Z}中的元素是整數，故對?a＞0，不存在x∈Z，使0＜|x-1|＜a成立，∴1不是集合Z的聚點．
④集合{y|y=2^x}=（0，+∞），?a＞0，一定?x∈M，使0＜|x-1|＜a 成立，故此集合以1為聚點．
故選A．

點評：本題考查的知識點是集合元素的性質，其中正確理解新定義--集合的聚點的含義，是解答本題的關鍵，屬于基礎題．