Question

（本題13分）已知函數。
（Ⅰ）若，試判斷并證明的單調性；
（Ⅱ）若函數在上單調，且存在使成立，求的取值范圍；
（Ⅲ）當時，求函數的最大值的表達式。

Answer 1

（Ⅰ）用定義證明函數的單調性；（Ⅱ）；（Ⅲ）。

試題分析：（Ⅰ）當時，在上單調遞增           1分
證明：              1分
則
                               2分
，在上單調遞增。  
（Ⅱ）當時，
由于
則

則當時，，單調增；
當時，，單調減。
所以，當時，在上單調增；                2分
又存在使成立
所以。              2分
綜上，的取值范圍為。
（Ⅲ）當時，
由（Ⅰ）知在區間上單調遞增，    1分
由（Ⅱ）知，①當時，在上單調增，
②當時，在上單調遞增，在上單調遞減，
又因為在上是連續函數
所以，①當時，在上單調增，則；
②當時，在上單調增，在上單調減，在上單調增，
2分
則 
綜上，的最大值的表達式。                 2分
點評：解決恒成立問題常用變量分離法，變量分離法主要通過兩個基本思想解決恒成立問題， 思路1：在上恒成立；思路2: 在上恒成立。注意恒成立問題與存在性問題的區別。