Question

已知曲線C：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）當m為何值時，曲線C表示圓；
（2）若曲線C與直線x+2y-4=0交于M、N兩點，且OM⊥ON（O為坐標原點），求m的值．

Answer 1

分析：（1）由二元二次方程表示圓的條件D²+E²-4F大于0列出關于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范圍；
（2）設出曲線與直線的交點M和N的坐標，聯立曲線C與直線的方程，消去y后得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理表示出兩根之和與兩根之積，然后由OM與ON垂直得到直線OM與ON斜率的乘積為-1，即M和N橫坐標之積與縱坐標之積的和為0，由直線方程化為橫坐標的關系式，把表示出的兩根之和與兩根之積代入即可求出m的值．

解答：解：（1）由D²+E²-4F=4+16-4m=20-4m＞0，解得m＜5；     （4分）
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯立直線x+2y-4=0與圓的方程x²+y²-2x-4y+m=0，
消去y，得：5x²-8x+4m-16=0，
由韋達定理得：x1+x2=

8

5

①，x1•x2=

4m-16

5

②，
又由x+2y-4=0得y=

1

2

(4-x)，
由OM⊥ON得x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x1x2+y1y2=x1x2+

1

4

(4-x1)•(4-x2)=

5

4

x1x2-(x1+x2)+4=0，
將①、②代入上式得 m=

8

5

，
檢驗知滿足△＞0，故m=

8

5

為所求． （13分）

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，以及二元二次方程表示圓的條件，在解答直線與圓相交的問題時，常常設出交點坐標，聯立直線與圓的方程，消去一個未知數后得到關于另外一個未知數的方程，利用韋達定理來解決問題．