Question

已知曲線C：x²-y|y|=1（|x|≤4）．
（1）畫出曲線C的圖象，
（2）（文）若直線l：y=x+m與曲線C有兩個公共點，求m的取值范圍；
（理）若直線l：y=kx-1與曲線C有兩個公共點，求k的取值范圍；
（3）若P（0，p）（p＞0），Q為曲線C上的點，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析：（1）去掉絕對值，將曲線化為兩段曲線，分別畫出這兩段曲線即可
（2）理，直線y=kx-1過定點（0，-1），先討論y≤0時有兩個公共點時k的取值范圍，再討論y＞0時有一個公共點時k的取值范圍，最后將兩個范圍合并即可
文，直線y=x+m的斜率為1，先討論y≤0時有兩個公共點時m的取值范圍，再討論y＞0時有一個公共點時m的取值范圍，最后將兩個范圍合并即可
（3）將|PQ|表示為關于變量y的函數，先討論y≤0時函數的最小值，再討論y＞0時函數的最小值，最后將兩個結果比較，取較小的作為|PQ|的最小值即可．

解答：解：（1）當y＞0時，曲線為x²-y²=1
當y≤0時，曲線為x²+y²=1
畫出曲線C的圖象如圖
理（2）若l：y=kx-1與x²+y²=1（y≤0）有兩個公共點，
則k∈[-1，0）∪（0，1]
若l：y=kx-1與x²-y²=1（y＞0）恰有一個公共點時直線l：y=kx-1與曲線C也有兩個公共點，
所以由

y=kx-1 x2-y2=1(y＞0)

⇒（1-k²）x²+2kx-2=0，
∴|k|＞1，△=4k²+8（1-k²）=8-4k²=0，
解得 k=± 

2

．                      
∴k的取值范圍是{-

2

}∪∈[-1，0）∪（0，1]∪{

2

}

文（2）若l：y=x+m與x²+y²=1（y≤0）有兩個公共點，
則d=

|m|

2

∈[

2

2

，1]，解得 m∈（-

2

，-1]
若l：y=x+m與x²+y²=1（y≤0）和x²-y²=1（y＞0）各有一個公共點，
則由圖象知，m∈（-1，0）
∴m的取值范圍是（-

2

，0）

（3）當y≤0時，|PQ|²=x²+（y-p）²=1-2py+p²
由-1≤y≤0得，當y=0時| PQ |min=

1+p2

當y＞0時，|PQ|²=x²+（y-p）²=2y²-2py+p²+1=2( y- 

p

2

)2+

1

2

p2+1
當y=

1

2

p 時| PQ |min=

1+ 1 2  p2

由于

1+p2

＞

1+ 1 2 p2

∴|PQ|的最小值是

1+ 1 2 p2

點評：本題綜合考查了直線與圓，直線與雙曲線的關系，解題時要善于使用數形結合的思想方法，善于分類討論，做到不重不漏，運算要認真準確，才能順利解題