Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E、F分別BB₁、DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D．
（1）求證：A₁C⊥平面AEF；
（2）若規定兩個平面所成的角是這兩個平面所組成的二面角中的銳角（或直角），則在空間中有定理：若兩條直線分別垂直于兩個平面，則這兩條直線所成的角與這兩個平面所成的角相等．
試根據上述定理，在AB=4，AD=3，AA₁=5時，求平面AEF與平面D₁B₁BD所成的角的大小．（用反三角函數值表示）

Answer 1

分析：（1）這一問中尋找垂直關系的方法是典型的三垂線定理的應用，三垂線定理是證明異面直線垂直的常用的方法，尤其在正方體、長方體中，與它們的體對角線相關聯的時候，經常用到．
（2）這一問如果要作出平面AEF與平面D₁B₁BD所成的平面角的話，輔助線過多，難度系數較大．但是如果把它放到空間直角坐標系去解決，就輕松多了．依托長方體自身的好條件，分別以AB、AD、AA₁為x軸、y軸、z軸建立空間坐標系．這樣解的好處就是：（1）解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關定理，因為這些可以用向量方法來解決．（2）即使立體感稍差一些的學生也可以順利解出，因為只需畫個草圖以建立坐標系和觀察有關點的位置即可．

解答：證明：（1）如圖，因為CB⊥平面A₁B，所A₁C在平面A₁B上的射影為A₁B
由A₁B⊥AE，AE?平面A₁B，得A₁C⊥AE，
同理可證A₁C⊥AF
因為A₁C⊥AF，A₁C⊥AE
所以A₁C⊥平面AEF
解：（2）過A作BD的垂線交CD于G，
因為D₁D⊥AG，所以AG⊥平面D₁B₁BD
設AG與A₁C所成的角為α，則α即為平面AEF與平面D₁B₁BD所成的角．
由已知，

AD

AB

=

DG

AD

計算得DG=

9

4

．
如圖建立直角坐標系，則得點A（0，0，0），G(

9

4

，3，0)，A1(0，0，5)，C(4，3，0)，AG={

9

4

，3，0}，A1C={4，3，-5}，
因為AG與A₁C所成的角為α
所以cosα=

AG•A1C

|AG|•|A1C|

=

12 2

25

α=arccos

12 2

25

由定理知，平面AEF與平面CEF所成角的大小為arccos

12 2

25

點評：本小題主要考查空間線面關系、三垂線定理的應用、構造空間直角坐標系，設定參數，運用向量等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．