Question

設f（x）=e^x-ax-a．
（Ⅰ）若f（x）≥0對一切x≥-1恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅱ）設g（x）=f（x）+

a

ex

，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）是曲線y=g（x）上任意兩點，若對任意的a≤-1，直線AB的斜率恒大于常數m，求m的取值范圍；
（Ⅲ）求證：1ⁿ+3ⁿ+…+（2n-1）ⁿ＜

e

e-1

（2n）ⁿ（n∈N^*）．

Answer 1

考點：不等式的證明,導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）分離參數求最值，即可求a的取值范圍；
（Ⅱ）設x₁，x₂是任意的兩實數，且x₁g（x₁）-mx₁，令函數F（x）=g（x）-mx，則F（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，F′（x）=g′（x）-m≥0恒成立，分離出參數m后轉化為求函數最值即可；
（Ⅲ）證明不等式可變為(

1

2n

)n+(

3

2n

)n+(

5

2n

)n+…+(

2n-3

2n

)n+(

2n-1

2n

)n＜

e

e-1

，由（Ⅰ） 知1+x≤e^x（x=0時取等號），在此不等式中，賦值、變形、相加，即可得出結論．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=e^x-a（x+1），∴a≤

ex

x+1

（x＞-1），
令h（x）=

ex

x+1

，則h′（x）=

xex

(x+1)2

∴h（x）在（-1，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，
∴h（x）≥h（0）=1（x＞-1）
∴a≤1，
x=-1時也滿足，
∴a≤1；
（Ⅱ）解：設x₁，x₂是任意的兩實數，且x₁＜x₂，
則g（x₂）-mx₂＞g（x₁）-mx₁，
∴不妨令函數F（x）=g（x）-mx，則F（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，
∴F′（x）=g′（x）-m≥0恒成立，
∴對任意的a≤-1，x∈R，m≤g′（x）恒成立，
g′（x）=e^x-a-

a

ex

≥2

-a

-a=（

-a

+1）²-1≥3，
故m≤3；
（Ⅲ）證明不等式可變為(

1

2n

)n+(

3

2n

)n+(

5

2n

)n+…+(

2n-3

2n

)n+(

2n-1

2n

)n＜

e

e-1

由（Ⅰ） 知1+x≤e^x（x=0時取等號），在此不等式中
取x=-

1

2n

得：1-

1

2n

＜e- 

1

2n

變形得：(

2n-1

2n

)n＜e-

1

2

取x=-

3

2n

得：1-

3

2n

＜e- 

3

2n

變形得：(

2n-3

2n

)n＜e-

3

2

…
取x=-

2n-1

2n

得1-

3

2n

＜e-

3

2n

變形得：(

1

2n

)n＜e-

2n-1

2

，
將以上不等式相加可得1ⁿ+3ⁿ+…+（2n-1）ⁿ＜

e

e-1

（2n）ⁿ（n∈N^*）．

點評：本題考查函數的單調性，函數的最值問題，求參數的范圍，不等式的證明，導數的應用，有一定的難度．