Question

若f（x）滿足f（-x）=-f（x），且在（-∞，0）上是增函數，又f（-2）=0，則xf（x）＜0的解集是（　　）

A．（-2，0）∪（0，2）

B．（-∞，-2）∪（0，2）

C．（-∞，-2）∪（2，+∞）

D．（-2，0）∪（2，+∞）

Answer 1

分析：由于本題是一個奇函數且在區間（-∞，0）上是單調增函數，又f（-2）=0，可以得出函數的圖象特征．由圖象特征求解本題中的不等式的解集即可．

解答：解：：∵f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函數，且在區間（-∞，0）上是單調增函數，又f（-2）=0，
∴f（2）=0，且當x＜-2或0＜x＜2時，函數圖象在x軸下方，當x＞2與-2＜x＜0時函數圖象在x軸上方
∴xf（x）＜0的解集為（-2，0）∪（0，2）
故選A

點評：本題考點是函數的奇偶性與單調性的綜合，考查根據函數的性質推測出函數圖象的特征，利用函數圖象的特征解不等式，由此特征結合函數的圖象不難得出不等式的解集．由此可以看出求解本題的關鍵是把函數圖象特征研究清楚，以形助數．