Question

已知數列{a_n}的各項均為正數，S_n為其前n項和，對于任意的n∈N^*，滿足關系式2S_n=3a_n-3．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{b_n}的通項公式是bn=

1	log3an(log3an+1)

，前n項和為T_n，求證：對于任意的正整數n，總有T_n＜1．

Answer 1

分析：（I）由已知得

2Sn=3an-3 2Sn-1=3an-1-3，n≥2

，故2（S_n-S_n-1）=2a_n=3a_n-3a_n-1．由此可求出a_n=3ⁿ（n∈N^*）．
（Ⅱ）bn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，所以T_n=b₁+b₂+…+b_n=1-

1

n+1

＜1．

解答：解：（I）由已知得

2Sn=3an-3 2Sn-1=3an-1-3，n≥2

故2（S_n-S_n-1）=2a_n=3a_n-3a_n-1
即a_n=3a_n-1，n≥2
故數列a_n為等比數列，且q=3
又當n=1時，2a₁=3a₁-3，∴a₁=3，
∴a_n=3ⁿ，n≥2．
而a₁=3亦適合上式
∴a_n=3ⁿ（n∈N^*）．
（Ⅱ）bn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

所以T_n=b₁+b₂+…+b_n
=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)  +…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

＜1．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細計算．