Question

6．數列{a_n}滿足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），n∈N*．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設${b_n}={3^n}•\sqrt{a_n}$，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）化簡可得$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}=\frac{a_n}{n}+1$，從而證明$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$是以1為首項，1為公差的等差數列，從而求得．
（2）利用（1）中所求得的數列{a_n}的通項公式得到${b_n}=n•{3^n}$，然后由錯位相減法求得數列{b_n}的前n項和S_n．

解答 解：（1）由已知可得$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}=\frac{a_n}{n}+1$，即$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}-\frac{a_n}{n}=1$，
所以$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$是以$\frac{a_1}{1}=1$為首項，1為公差的等差數列，
所以$\frac{a_n}{n}=1+（n-1）•1=n$，即${a_n}={n^2}$．
（2）由（1）知${a_n}={n^2}$，從而${b_n}=n•{3^n}$，${S_n}=1•{3^1}+2•{3^2}+3•{3^3}+…+n•{3^n}$，①
$3{S_n}=1•{3^2}+2•{3^3}+…+（n-1）•{3^n}+n•{3^{n+1}}$，②
①-②得$-2{S_n}={3^2}+{3^3}+{3^4}+…+{3^n}-n•{3^{n+1}}$=$\frac{{3（1-{3^n}）}}{1-3}-n•{3^{n+1}}=\frac{{（1-2n）•{3^{n+1}}-3}}{2}$，
所以${S_n}=\frac{{（2n-1）•{3^{n+1}}+3}}{4}$．

點評 本題考查了等差數列的判斷與應用，同時考查了構造法和錯位相減求和法的應用，屬于中檔題．