Question

從中這個數中取（，）個數組成遞增等差數列，所有可能的遞增等差數列的個數記為．
（1）當時，寫出所有可能的遞增等差數列及的值；
（2）求；
（3）求證：．

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析．

試題分析：（1）符合要求的遞增等差數列全部列出，即可求出的值；（2）求，即從到個數中取個，組成遞增等差數列，由等差數列的性質知，故分別取，討論各種情況下，數列的個數，如時，分別取，共可得個符合要求的數列，以此類推，即可得到其他情況的符合要求的數列的個數，加起來的和即為符合要求數列的個數，即得的值；（3）求證：，由（2）的求解過程可知，首先確定的范圍，即，由于只能取正整數，故取的整數部分是，即，的可能取值為，計算出，利用即可證得結論．
試題解析：（1）符合要求的遞增等差數列為1，2，3；2，3，4；3，4，5；1，3，5，共4個.
所以.                                           3分
（2）設滿足條件的一個等差數列首項為，公差為，.
，，的可能取值為．
對于給定的，， 當分別取時，可得遞增等差數列個（如：時，，當分別取時，可得遞增等差數列91個：；；；，其它同理）.
所以當取時，可得符合要求的等差數列的個數為：
．     8分
（3）設等差數列首項為，公差為，
，，
記的整數部分是，則，即．
的可能取值為，
對于給定的，，當分別取時，可得遞增等差數列個.
所以當取時，得符合要求的等差數列的個數

易證．
又因為，，
所以．
所以
．
即．            13分