Question

設是各項均不為零的（）項等差數列，且公差.
（1）若,且該數列前項和最大，求的值；
（2）若,且將此數列刪去某一項后得到的數列（按原來的順序）是等比數列，求的值；
（3）若該數列中有一項是，則數列中是否存在不同三項（按原來的順序）為等比數列？請說明理由.

Answer 1

（1）取最大時的值為30或31；（2）的值為或10

試題分析：（1）由等差數列前n項和的二次函數性質求解
（2）分類討論思想，依次分刪去第一項、第二項、第三項、第四項后成等比數列求解；
（3）考慮反證法
試題解析：（1）解法一：由已知得
∴
∵∴取最大時的值為30或31.
解法二：由已知得∴.
若取最大，則只需即解得.
∵∴當取最大時的值分別是30或31.
（2）當時，該數列的前4項可設為10、、、.
若刪去第一項10，則由題意得，解得，不符合題意.
若刪去第二項，則由題意得解得，符合題意.
若刪去第三項，則由題意得解得，符合題意.
若刪去第四項，則由題意得解得，不符合題意.
綜上所述，的值為或10.
（3）設

設該數列存在不同的三項成等比數列，則
，化簡得


又
將代入得這與題設矛盾
故該數列不存在不同三項（按原來的順序）為等比數列.