Question

【題目】設函數．

（1）當時，求證：；

（2）當時，恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）當時，，不等式化為，構造函數，利用導數求函數的最小值，從而證明不等式成立；

（2）方法1：不等式化為，令，利用導數判斷，不等式化為，記，求出的最大值，即可得出的取值范圍．

方法2：討論時，，求得的取值范圍，再證明時，在上恒成立．

（1）當時，，

要證明，即證明；

記，則；

當時， ，函數在上單調遞減；

當時，，函數在上單調遞增；

所以，即；

（2）方法1： 即，

令，令，得；

所以在上單調減，在單調增，

則，

即，可化為，

記，則，且；

再令，

當時，，

，

由（1）可知，時成立，，，

由此，在上單調增；

當時，，在上單調減；

因此，故；

方法2：當時，，由此

證明如下：當時，在上，恒成立，

，同法1證明，，

；

所以在上，恒成立，故．