Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構成的三角形周長為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設直線與橢圓交于，兩點，且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為橢圓上一點和它的兩個焦點構成的三角形周長為，

所以， ……………1分

又橢圓的離心率為，即，所以， ………………2分

所以，. ………………4分

所以，橢圓的方程為. ………………5分

（Ⅱ）方法一：不妨設的方程，則的方程為.

由得， ………………6分

設，，因為，所以， …………7分

同理可得， ………………8分

所以，， ………………10分

， ………………12分

設，則， ………………13分

當且僅當時取等號，所以面積的最大值為. ………………14分

方法二：不妨設直線的方程.

由消去得， ………………6分

設，，

則有，. ① ………………7分

因為以為直徑的圓過點，所以.

由，

得. ………………8分

將代入上式，

得.

將 ① 代入上式，解得或（舍）. ………………10分

所以（此時直線經過定點，與橢圓有兩個交點），

所以

. ……………12分

設，

則.

所以當時，取得最大值. ……………14分

【解析】

(1)由題意可知2a+2c和e的值，所以可以求出a,b,c進而確定橢圓方程.

（2）以AB為直徑的圓過右頂點C，實質是,然后用坐標表示出來，再通過直線l的方程與橢圓方程聯立，借助韋達定理和判斷式把△ABC面積表示成關于k的函數，然后利用函數的方法求最值.

（Ⅰ）因為橢圓上一點和它的兩個焦點構成的三角形周長為，∴， 又橢圓的離心率為，即，所以，

∴，. ………… 3分∴，橢圓的方程為.……4分

（Ⅱ）由直線的方程.聯立消去得，………… 5分

設，，則有，. ① ……… 6分

因為以為直徑的圓過點，所以.由，得.…………… 7分

將代入上式，得.

將 ① 代入上式，解得或（舍）. ……… 8分

所以,記直線與軸交點為，則點坐標為，

所以

設，則.

所以當時，取得最大值為