Question

如圖在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點E是棱AB上的動點．
（1）若異面直線AD₁與EC所成角為60⁰，試確定此時動點E的位置．
（2）求三棱錐C-DED₁的體積．

Answer 1

分析：（1）以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標系則E（1，t，0）則A（1，0，0），D（0，0，0），D₁（0，0，1），C（0，2，0），由向量法能求出異面直線AD₁與EC所成角的大小列出等式即可求出t．
（2）設點C到平面DED₁的距離為h，能求出點C到平面D₁DE的距離為1，再求得底面面積，根據錐體的體積公式求解即得．

解答：解：（1）以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標系
設：E（1，t，0）則A（1，0，0），D（0，0，0），D₁（0，0，1），C（0，2，0），

D1A

=(1，0，-1)

CE

=(1，t-2，0)，4分
根據數量積的定義及已知得：
∴1+0•(t-2)+0=

2

•

1+(t-2)2

•cos60°．
t=1，∴E的位置是AB中點.7分
（2）VC-DED1=VD1-DEC=

1

3

•

1

2

•2•1•1=

1

3

，14分．

點評：本題考查空間直角坐標系、異面直線所成角、棱柱、棱錐、棱臺的體積的計算，解題時要認真審題，仔細解答．