Question

【題目】《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中將底面為直角三角形的直棱柱稱為塹堵，將底面為矩形的棱臺稱為芻童.在如圖所示的塹堵與芻童的組合體中,． 臺體體積公式： ， 其中分別為臺體上、下底面面積， 為臺體高.

（1）證明：直線 平面；

（2）若,， ，三棱錐的體積，求 該組合體的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）證明AD⊥MA，推出MA⊥平面ABCD，得到MA⊥BD．結合BD⊥AC，證明BD⊥平面MAC．
（2）設芻童ABCD-A1B1C1D1的高為h，利用幾何體的體積公式，轉化求解即可．

試題解析：

（1）證明：由題可知是底面為直角三角形的直棱柱，

平面 ,

又， , 平面，

,

又， 四邊形為正方形， ，

又, 平面， 平面.

（2）設芻童的高為，則三棱錐體積

，所以,

故該組合體的體積為

.

（注：也可將臺體補形為錐體后進行計算）