Question

已知定義在區(qū)間（-1、1）上的函數(shù)f(x)=

mx+n

x2+1

為奇函數(shù)．且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）、求實數(shù)m、n的值．
（2）、解關(guān)于 t 的不等式f（t-1）+f（t-2）＜0．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）是在區(qū)間（-1、1）上的奇函數(shù)，則f（0）=0，求出n的值，然后根據(jù)f(

1

2

)=

2

5

求出m的值即可．
（2）先根據(jù)定義法判定函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)f（x）為奇函數(shù)則f（t-2）＜-f（t-1）=f（1-t），根據(jù)單調(diào)性和定義域建立不等式組，解之即可求出所求．

解答：解：（1）∵f（x）是在區(qū)間（-1、1）上的奇函數(shù)．

∴f(x)= x 1+x2

∴f(o)=n=o 又f( 1 2 )= m 2 +n 1+ 1 4 = 2 5

∴m=1…（6分）
（2）設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1則f(x1)-f(x2)=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

∴-1＜x₁＜x₂＜1∴x₁-x₂＜01-x₁x₂＞0（1+x₁²）（1+x₂²）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）∴f（x）在區(qū)間（-1、1）上是增函數(shù)．
∴f（t-1）+f（t-2）＜0．且f（x）為奇函數(shù)∴f（t-2）＜-f（t-1）=f（1-t）
又∴函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1、1）上的增函數(shù)．∴

t-2＜1-t -1＜t-2＜1 -1＜1-t＜1

∴1＜t＜

3

2

故關(guān)于t的不等式的解集為{t|1＜t＜

3

2

 }…（13分）
注：單調(diào)性的證明用求導(dǎo)或用熟悉函數(shù)（如打鉤函數(shù)）性質(zhì)證明也可．

點評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，以及利用函數(shù)的單調(diào)性求解有關(guān)不等式，屬于中檔題．