Question

【題目】已知函數f（x）=的定義域為（-1，1），滿足f（-x）=-f（x），且 ．

（1）求函數f（x）的解析式；

（2）證明f（x）在（-1，1）上是增函數；

（3）解不等式 .

Answer 1

【答案】(1)；（2）見解析.(3) 原不等式的解集為.

【解析】試題分析：（1）由題干知函數時奇函數根據可以求出b，已知，代入表達式求出a；（2）證明函數單調性，只能用定義證明，做差f（x1）-f（x2）和0比即可。（3）根據函數的奇偶性和單調性，直接將不等式轉化為f（2x-1）＜f（-x），根據單調性比較括號內的表達式即可。

（1）f（x）的定義域為（-1，1），關于原點對稱，且f（-x）=-f（x）；

∴f（x）為奇函數；

∴；

∴b=0，則；

∴；

∴a=1；

∴；

（2）證明：設-1＜x1＜x2＜1，則：

=；

∵-1＜x1＜x2＜1；

∴x1-x2＜0，1-x1x2＞0，＞0；

∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在（-1，1）上是增函數；

（3）f（x）顯然為奇函數；

∴由f（2x-1）+f（x）＜0得，f（2x-1）＜-f（x）；

∴f（2x-1）＜f（-x）；

由（1）知f（x）在（-1，1）上是增函數，則：

-1＜2x-1＜-x＜1，

解得；

∴原不等式的解集為．