Question

已知函數y=

1

2

cos2x+

3

2

sinxcosx+1，x∈R．
（1）求最大值，及當函數y取得最大值時，求自變量x的集合；
（2）求函數的對稱軸方程
（3）該函數的圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到？

Answer 1

分析：（1）利用倍角公式和兩角和差的正弦余弦公式即可得出解析式，再利用當且僅當sin(2x+

π

6

)=1，即2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，函數y取得最大值

1

2

×1+

5

4

=

7

4

．即可得出；
（2）利用三角函數的圖象變換法則即可得出．

解答：解：（1）函數y=

1

2

cos2x+

3

2

sinxcosx+1=

1

2

×

1+cos2x

2

+

3

2

×

1

2

×sin2x+1=

1

2

(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)+

5

4

=

1

2

sin(2x+

π

6

)+

5

4

．
∴當且僅當sin(2x+

π

6

)=1，即2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，解得x=kπ+

π

6

(k∈Z)時，函數y取得最大值

1

2

×1+

5

4

=

7

4

．此時自變量x的集合為{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}．
（2）由sin(2x+

π

6

)=±1，得到2x+

π

6

=kπ+

π

2

，解得x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z），∴函數的對稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z）．
（3）由y=sinx（x∈R）的圖象經過向左平移

π

6

個單位長度得到y=sin(x+

π

6

)；再把橫坐標縮短到原來的

1

2

倍，縱坐標不變得到y=sin(2x+

π

6

)；
把縱坐標變為原來的

1

2

得到y=

1

2

sin(2x+

π

6

)；再把圖象向上平移

5

4

單位即可得到y=

1

2

sin(2x+

π

6

)+

5

4

的圖象．

點評：本題考查了倍角公式和兩角和差的正弦余弦公式、三角函數的圖象與性質、圖象變換等基礎知識與基本方法，屬于中檔題．