Question

已知函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，且f（2）=0，對任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（4）成立，則f（2008）=

0

．

Answer 1

分析：因為對任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（4）成立，分別取x=0、4、8、…、2004，得到502個等式，累加可得f（2008）=f（0）+502f（4）．然后根據函數y=f（x）是R上的奇函數，得到f（0）=0，再對f（x+4）=f（x）+f（4）取x=-2，得f（-2）=f（2）+f（4），結合f（2）=0可求出f（4）=0，從而得出f（2008）=0．

解答：解：∵任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（4）成立，
∴f（4）=f（0）+f（4），…（1）
f（8）=f（4）+f（4），…（2）
f（12）=f（8）+f（4），…（3）
…
f（2008）=f（2004）+f（4），…（502）
將這502個式子相加，得f（2008）=f（0）+502f（4）…（*）．
∵函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（-0）=-f（0）=f（0），可得f（0）=0
對于f（x+4）=f（x）+f（4）取x=-2，得f（-2+4）=f（-2）+f（4）
又因為f（2）=0，所以f（-2）=f（2）=0
∴f（4）=f（-2）-f（2）=0
將f（0）=0與f（4）=0代入（*），得f（2008）=0
故答案為：0

點評：本題給出滿足遞推公式的一個奇函數，在已知f（2）=0和f（x+4）=f（x）+f（4）的情況下求f（2008）的值，著重考查了函數的奇偶性和抽象函數及其應用，屬于基礎題．