【題目】如圖，
是一個三棱錐，
是圓的直徑，
是圓上的點，
垂直圓所在的平面，
，
分別是棱
，的中點.
（1）求證：
平面
；
（2）若二面角
是
，
，求
與平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）可證
，
，再利用
可得
，
，從而可證
平面
.
（2）可證
為二面角
的平面角，再以
為坐標(biāo)原點，
，
，
方向分別為
軸，
軸，
軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
. 求出平面
的法向量和直線
的方向向量后可求與平面所成角的正弦值.
（1）因為
是圓的直徑，所以.
因為
垂直圓所在的平面，且
在該平面中，所以.
因為
，
分別是棱
，的中點，
所以，所以，
又因為
，所以有平面.
（2）由（1）可知，
，
，
所以為二面角的平面角，
從而有
，則
.
又，
，得
.
以為坐標(biāo)原點，，，方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則
，
，
，
，
，
，
，
，
.
設(shè)
是平面的法向量，則
即
可取
.
故
.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為了了解居民的家庭收人情況,某社區(qū)組織工作人員從該社區(qū)的居民中隨機(jī)抽取了
戶家庭進(jìn)行問卷調(diào)查.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),這些家庭的月收人在
元到
元之間，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)作出如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左至右第一 、二、四小組的頻率之比為
,且第四小組的頻數(shù)為
.
(1)求;
(2)求這戶家庭月收人的眾數(shù)與中位數(shù)(結(jié)果精確到
);
(3)這戶家庭月收入在第一、二、三小組的家庭中,用分層抽樣的方法任意抽取
戶家庭,并從這戶家庭中隨機(jī)抽取
戶家庭進(jìn)行慰問,求這戶家庭月收入都不超過
元的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件，為激發(fā)大家的學(xué)習(xí)興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動，這款軟件的激活碼為下列數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1、1、2、1、2、4、8、1、2、4、8、16、……，其中第一項是
，接下來的兩項是
，再接下來的三項是
，……，以此類推，求滿足如下條件的最小整數(shù)
且該數(shù)列的前
項和為2的整數(shù)冪，那么該軟件的激活碼是________。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知四邊形
為正方形，
平面，四邊形
與四邊形
也都為正方形，連接
，點
為
的中點，有下述四個結(jié)論：
①
； ②
與
所成角為
；
③
平面
； ④與平面
所成角為
．
其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）
A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，多面體
中，
，平面
⊥平面
，四邊形為矩形，
∥
，點
在線段
上，且
.
(1)求證：
⊥平面；
(2)若
，求多面體被平面
分成的大、小兩部分的體積比.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊擬生產(chǎn)
兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場預(yù)測，
產(chǎn)品的利潤與投資額成正比（如圖1），
產(chǎn)品的利潤與投資額的算術(shù)平方根成正比(如圖2).(注: 利潤與投資額的單位均為萬元)
（注：利潤與投資額的單位均為萬元）
(1)分別將兩種產(chǎn)品的利潤
、
表示為投資額
的函數(shù)；
(2)該團(tuán)隊已籌集到10 萬元資金，并打算全部投入兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問:當(dāng)產(chǎn)品的投資額為多少萬元時，生產(chǎn)兩種產(chǎn)品能獲得最大利潤，最大利潤為多少?
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
：
過點
，
為其焦點，過且不垂直于
軸的直線
交拋物線于
，
兩點，動點
滿足
的垂心為原點
.
（1）求拋物線的方程；
（2）求證：動點在定直線
上，并求
的最小值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，已知四邊形
是邊長為
的正方形，點
在底面上的射影為底面的中心點
，點
在棱
上，且
的面積為1．
（1）若點是的中點，求證：平面
平面
；
（2）在棱上是否存在一點使得二面角
的余弦值為
？若存在，求出點的位置；若不存在，說明理由．
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