Question

如圖，四棱錐的底面是正方形，每條側棱的長都是底面邊長的倍，為側棱上的點。
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若平面，求二面角的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，側棱上是否存在一點， 使得平面。若存在，求的值；若不存在，試說明理由。

Answer 1

解法一：
（Ⅰ）；連,設交于于，由題意知.以O為坐標原點，分別為軸、軸、軸正方向，建立坐標系如圖。
設底面邊長為，則高。  于是    
          
     故          從而  
(Ⅱ)由題設知，平面的一個法向量，平面的一個法向量，設所求二面角為，則,所求二面角的大小為
（Ⅲ）在棱上存在一點使.由（Ⅱ）知是平面的一個法向量，
且  
設       則     
而          即當時，       
而不在平面內，故
解法二：（Ⅰ）連BD，設AC交BD于O，由題意。在正方形ABCD中，，所以,得.
(Ⅱ)設正方形邊長，則。
又，所以,
連，由（Ⅰ）知,所以,     
且,所以是二面角的平面角。
由,知,所以,
即二面角的大小為。
Ⅲ）在棱SC上存在一點E，使
由（Ⅱ）可得，故可在上取一點,使,過作的平行線與的交點即為。連BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.

略