Question

【題目】設函數， ．

（Ⅰ）若，求的極小值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，是否存在實常數和，使得和？若存在，求出和的值．若不存在，說明理由；

（Ⅲ）設有兩個零點，且成等差數列，試探究值的符號．

Answer 1

【答案】（1）極小值為0（2）k=2,m= -1（3）

【解析】試題分析：（Ⅰ）首先由,得到關于的兩個方程,從而求出,這樣就可得到的表達式,根據它的特點可想到用導數的方法求出的極小值; （Ⅱ）由（Ⅰ）中所求的和,易得到它們有一個公共的點,且和在這個點處有相同的切線,這樣就可將問題轉化為證明和分別在這條切線的上方和下方,兩線的上下方可轉化為函數與0的大小,即證和成立,從而得到和的值; （Ⅲ）由已知易得,由零點的意義,可得到關于兩個方程,根據結構特征將兩式相減,得到關于的關系式,又對求導,進而得到,結合上面關系可化簡得: ,針對特征將當作一個整體,可轉化為關于的函數,對其求導分析得, 恒成立.

試題解析：解：（Ⅰ）由，得，解得2分

則= ，

利用導數方法可得的極小值為5分

（Ⅱ）因與有一個公共點，而函數在點的切線方程為，

下面驗證都成立即可 7分

由，得，知恒成立 8分

設，即，易知其在上遞增，在上遞減，

所以的最大值為，所以恒成立.

故存在這樣的k和m，且10分

（Ⅲ）的符號為正. 理由為：因為有兩個零點，則有

，兩式相減得12分

即，于是

14分

①當時，令，則，且.

設，則，則在上為增函數．而，所以，即. 又因為，所以.

②當時，同理可得： .

綜上所述： 的符號為正 16分