Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中， ，點分別在邊上，且， 交于點．現將沿折起，使得平面平面，得到圖2．

（Ⅰ）在圖2中，求證： ；

（Ⅱ）若點是線段上的一動點，問點在什么位置時，二面角的余弦值為．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）．

【解析】試題分析：(1)先證明 ,再證明,證明平面,從而可得 ;
(2)建立直角坐標系,設,求出平面、平面的一個法向量,利用向量的夾角公式,結合二面角的余弦值為,即可得出結論.

試題解析：（Ⅰ）∵在矩形中， , ,

∴， ∴即.

∴在圖2中， ， .

又∵平面平面，平面平面，

∴平面， ∴，

依題意， ∥且，∴四邊形為平行四邊形.

∴∥, ∴， 又∵，

∴平面， 又∵平面， ∴.

（Ⅱ）如圖1，在中， ， ，

∵∥， ，∴.

如圖，以點為原點建立平面直角坐標系，則

， ， ， ，

∴， ， ，

∵，∴平面，

∴為平面的法向量.

設，則，

設為平面的法向量，則

即，可取，

依題意，有，

整理得，即，∴，

∴當點在線段的四等分點且時，滿足題意．