Question

【題目】已知函數(shù)在上是奇函數(shù)．

（1）求；

（2）對，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）令，若關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）2（2）（3）或

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)是奇函數(shù)，所以,解方程求a.（2）對于任意，函數(shù)f（x）恒大于0，不等式恒成立，即不等式恒成立，則。（3）先求，由得g（2x）=mg（x+1）即，所以（*）,令，則方程（*）變?yōu)?/span>。關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解，所以方程有且只有一個正根。方程的根分以下三種情況討論①有且只有一個根且是正根②有一正根一負(fù)根③有一正根一零根，求m的范圍。

試題解析：（1）因?yàn)?/span>所以所以

（2），

所以，即

（3）因?yàn)?/span>，

即，所以（*）

因?yàn)?/span>關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解，所以方程（*）有且只有一個根，

令，則方程（*）變?yōu)?/span> 有且只有一個正根，

①方程有且只有一個根且是正根，則

所以，當(dāng)時，方程的根為滿足題意；

當(dāng)時，方程的根為不滿足題意

分

②方程有一正根一負(fù)根，則，所以

③方程有一正根一零根，則，所以，此時滿足題意

綜上，的范圍為或

說明：本題第（1）問中，利用特殊值法求解也正確。