Question

如圖，在長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、P分別是BC、A₁D₁的中點，M、N分別是AE、CD₁的中點，AD=AA₁=a,AB=2a.

(1)求證：MN∥面ADD₁A₁；

(2)求二面角P—AE—D的大小.

Answer 1

(1)證明：取CD的中點K，連結(jié)MK、NK.

∵M、N、K分別為AE、CD₁、CD的中點，

∴MK∥AD，NK∥DD₁.

∴MK∥面ADD₁A₁，NK∥面ADD₁A₁.

∴面MNK∥面ADD₁A₁.

∴MN∥面ADD₁A₁.

(2)解：設(shè)F為AD的中點，

∵P為A₁D₁的中點，∴PF∥D₁D.∴PF⊥面ABCD.

    作FH⊥AE，交AE于H，連接PH，則由三垂線定理得AE⊥PH.

    從而∠PHF為二面角P—AE—D的平面角.

    在Rt△AEF中，AF=,EF=2a,AE=a,

    從而FH=.

    在Rt△PFH中，tanPHF=,

    故二面角P—AE—D的大小是arctan.