Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣a|﹣ x，（a＞0）． （Ⅰ）若a=3，解關于x的不等式f（x）＜0；
（Ⅱ）若對于任意的實數x，不等式f（x）﹣f（x+a）＜a2+ 恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）a=3時，f（x）=|x﹣3|﹣ x＜0， 即|x﹣3|＜ x，
兩邊平方得：（x﹣3）2＜ x2 ，
解得：2＜x＜6，
故不等式的解集是{x|2＜x＜6}；
（Ⅱ）f（x）﹣f（x+a）
=|x﹣a|﹣ x﹣|x|+ （x+a）
=|x﹣a|﹣|x|+ ，
若對于任意的實數x，不等式f（x）﹣f（x+a）＜a2+ 恒成立，
即|x﹣a|﹣|x|+ ＜a2+ 對x∈R恒成立，
即a2＞|x﹣a|﹣|x|，而|x﹣a|﹣|x|≤|（x﹣a）﹣x|=|a|，
原問題等價于|a|＜a2 ， 又a＞0，
∴a＜a2 ， 解得a＞1
【解析】（Ⅰ）將a的值帶入f（x），兩邊平方求出不等式的解集即可；（Ⅱ）求出f（x）=|x﹣a|﹣|x|+ ，原問題等價于|a|＜a2 ， 求出a的范圍即可．