Question

【題目】已知函數f（x）=xlnx，g（x）= （其中a∈R）
（1）求函數f（x）的極值；
（2）設函數h（x）=f′（x）+g（x）﹣1，試確定h（x）的單調區間及最值；
（3）求證：對于任意的正整數n，均有 ＞ 成立．（注：e為自然對數的底數）

Answer 1

【答案】
（1）解： f（x）=xlnx，（x＞0），f′（x）=1+lnx，

令f′（x）＞0，解得：x＞ ，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜ ，

∴f（x）在（0， ）遞減，在（ ，+∞）遞增，

∴f（x）的極小值是f（ ）=﹣ ；

（2）解：h（x）=f′（x）+g（x）﹣1=lnx+ ，（x＞0），

h′（x）= ﹣ = ，

①a≤0時，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）遞增，無最值，

②a＞0時，令h′（x）＞0，解得：x＞a，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜a，

∴h（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增，

∴h（x）min=h（a）=1+lna，

（3）證明：取a=1，由（Ⅱ）知，h（x）=lnx+ ≥f（1）=1，

∴ ≥1﹣lnx=ln ，亦即 ≥ ，

分別取 x=1，2，…，n得 ≥ ，

≥ ， ≥ ，…， ≥ ，

將以上各式相乘，得： ＞ 成立．

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；（2）求出h（x）的導數，通過討論a的范圍求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；（3）令a=1，得到 ≥1﹣lnx=ln ，亦即 ≥ ，分別取 x=1，2，…，n，相乘即可．
【考點精析】利用基本求導法則和函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．