Question

【題目】已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓的離心率為，過左焦點且垂直于軸的直線交橢圓于兩點，且.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）若直線是圓上的點處的切線，點是直線上任一點，過點作橢圓的切線，切點分別為，設切線的斜率都存在.求證：直線過定點，并求出該定點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線恒過定點.

【解析（Ⅰ）由已知，設橢圓的方程為，

因為，不妨設點，代入橢圓方程得，，

又因為， 所以，，所以，，

所以的方程為.

（Ⅱ）依題設，得直線的方程為，即，

設，

由切線的斜率存在，設其方程為，

聯立得，，

由相切得，

化簡得，即，

因為方程只有一解，所以， 所以切線的方程為，即，同理，切線的方程為，

又因為兩切線都經過點，所以， 所以直線的方程為，又， 所以直線的方程可化為，

即， 令得，

所以直線恒過定點.

【解析】

（Ⅰ）由已知條件布列關于a，b的方程，即可得到的方程；（Ⅱ）由題意得到兩切線MA，MB的方程，利用M點在切線MA，MB上，得到為AB的直線方程，從而問題解決．

（Ⅰ）由已知，設橢圓的方程為，

因為，不妨設點，代入橢圓方程得，，

又因為， 所以，，所以，，

所以的方程為.

（Ⅱ）依題設，得直線的方程為，即，

設，

由切線的斜率存在，設其方程為，

聯立得，，

由相切得，

化簡得，即，

因為方程只有一解，所以， 所以切線的方程為，即，同理，切線的方程為，

又因為兩切線都經過點，所以， 所以直線的方程為，又， 所以直線的方程可化為，

即， 令得，

所以直線恒過定點.