Question

在平面直角坐標系中，點A（1，0）、B（-1，0），已知|CA|=2

2

，BC的垂直平分線l交AC于D，當點C動點時，D點的軌跡圖形設為E．
（1）求E的標準方程；
（2）點P為E上一動點，點O為坐標原點，曲線E的右焦點為F，求|PO|²+|PF|²的最小值．

Answer 1

分析：（1）設D（x，y），結合圖象由垂直平分線的性質結合橢圓的定義知，點E的軌跡是橢圓，由定義求出參數，得出標準方程；
（2）設 P(x，y)x∈[-

2

，

2

]，得出PO²=x²+y²，PF²=（x-1）²+y²，整理表示出PO|²+|PF|²，再根據p點在曲線上得出2y²=2-x²，從而整理出|PO|²+|PF|²=x²-2x+3=（x-1）²+2 根據x的范圍即可求出最小值．

解答：解：（1）設（x，y）
∵l是BC的垂直平分線，
∴|DB|=|DC|
∴|DB|+|DA|=|AC|=2

2

＞2=|AB|
∴D點的軌跡圖形E是A，B為焦點的橢圓 其中2a=2

2

，c=1，
∴a=

2

，b²=a²-c²=1   
∴D點的軌跡圖形E：

x2

2

+y2=1   
（2）設 P(x，y)x∈[-

2

，

2

]，
則PO²=x²+y²，
PF²=（x-1）²+y²   
∴|PO|²+|PF|²=2x²-2x+2y²+1    
點P（x，y）滿足

x2

2

+y2=1，
∴2y²=2-x²
∴|PO|²+|PF|²=x²-2x+3=（x-1）²+2     
∵x∈[-

2

，

2

]，∴當x=1時，|PO|²+|PF|²的最小值為2

點評：本題考查了軌跡方程以及直線與圓錐曲線問題，（2）問中要注意x的范圍，此題是一道綜合題．