Question

數列{b_n}（n∈N^*）是遞增的等比數列，且b₁+b₃=5，b₁b₃=4．
（1）求數列{b_n}的通項公式和前n項和為S_n；
（2）若a_n=log₂b_n+3，求證數列{a_n}（是等差數列，并求出其通項．

Answer 1

分析：（1））由b₁+b₃=5，b₁b₃=4．且數列{b_n}（n∈N^*）是遞增的等比數列可得b₃=4，b₁=1，q=2，分別代入等比數列的通項公式，前n項和公式可求；
（2）由（1）可得a_n=n+2從而有a_n-a_n-1=n+2-（n+1）=1，根據等差數列的定義可得數列{a_n}是等差數列．

解答：解：（1）∵b₁+b₃=5，b₁b₃=4．且數列{b_n}（n∈N^*）是遞增的等比數列
∴b₃=4，b₁=1，q=2
由等比數列的通項公式可得，b_n=b₁q^n-1=2^n-1
由等比數列的前n項和公式可得，sn=

b1(1-qn)

1-q

=2n-1
（2）由（1）可得，a_n=log₂b_n+3=n+2
則a_n-a_n-1=n+2-（n+1）=1
∴數列{a_n}是以1為公差的等差數列，通項a_n=n+2

點評：（1）主要考查了等比數列的基本運算（2）要證明數列{a_n}為等差數列，利用定義法只需證：a_n-a_n-1=d（常數）