Question

已知數列{a_n}是等差數列，且滿足：a₁+a₂+a₃=6，a₅=5；數列{b_n}滿足：bn-bn-1=an-1(n≥2，n∈N*)，b₁=1．
（1）求a_n和b_n；
（2）記數列cn=

1

bn+2n

，(n∈N*)，若{c_n}的前n項和為T_n，求證Tn∈[

1

3

，1)．

Answer 1

分析：（1）利用公差與首項表示已知，可求a₁，d，進而可求a_n，由b_n-b_n-1=a_n-1=利用累加法可求b_n
（2）由cn=

1

bn+2n

=

2

n2+3n+2

=

2

(n+1)•(n+2)

=2•(

1

n+1

-

1

n+2

)，利用裂項可求T_n，可證

解答：解：（1）因為a₁+a₂+a₃=6，a₅=5，所以

3a1+3d=6 a1+4d=5

⇒

a1=1 d=1

，
所以a_n=n；
又b_n-b_n-1=a_n-1=n-1，

(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(bn-2-bn-3)+…+(b3-b2)+(b2-b1) =(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+2+1

得bn-b1=

n(n-1)

2

，所以bn=

n(n-1)

2

+b1=

n2-n+2

2

．
（2）因為cn=

1

bn+2n

=

2

n2+3n+2

=

2

(n+1)•(n+2)

=2•(

1

n+1

-

1

n+2

)，

Tn=2( 1 2 - 1 3 )+2( 1 3 - 1 4 )+2( 1 3 - 1 4 )+…+2( 1 n - 1 n+1 )+2( 1 n+1 - 1 n+2 ) =2( 1 2 - 1 n+2 )=1- 2 n+2

而0＜

2

n+2

≤

2

3

，所以Tn∈[

1

3

，1)．

點評：本題主要考查了等差數列的通項公式及累加求解數列通項方法的應用，裂項求和是證明（2）的關鍵．