Question

已知三棱柱，底面三角形為正三角形，側(cè)棱底面，，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：直線平面；
(Ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離．

Answer 1

（Ⅰ）取的中點(diǎn)為，連接，
推出，，且，
利用四邊形為平行四邊形，得到，
所以直線平面.
(Ⅱ）點(diǎn)到平面的距離為．

解析試題分析：（Ⅰ）取的中點(diǎn)為，連接，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/77/f/byxmc1.png" style="vertical-align:middle;" />為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，
所以，，且，
所以四邊形為平行四邊形， 所以，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/02/3/1hwg34.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以直線平面.
(Ⅱ）由已知得，所以,
因?yàn)榈酌嫒�角�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b1/7/1ebrb3.png" style="vertical-align:middle;" />為正三角形，為中點(diǎn)，
所以, 所以，
由（Ⅰ）知，所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/93/0/lkk4a.png" style="vertical-align:middle;" />，所以,,
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由等體積法得 ，
所以，得，
即點(diǎn)到平面的距離為．
考點(diǎn)：正三棱柱的幾何特征，平行關(guān)系，垂直關(guān)系，體積計(jì)算，距離計(jì)算。
點(diǎn)評：中檔題，立體幾何問題中，平行關(guān)系、垂直關(guān)系，角、距離、面積、體積等的計(jì)算，是常見題型，基本思路是將空間問題轉(zhuǎn)化成為平面問題，利用平面幾何知識加以解決。要注意遵循“一作，二證，三計(jì)算”。本題計(jì)算距離時(shí)，應(yīng)用了“等體積法”，在幾何體不十分規(guī)則時(shí)，經(jīng)常用到。